Symétrie axiale
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Activité réalisée en classe
Après avoir plié une feuille de papier sur laquelle tu as dessiné une figure simple sur une des faces; découpé cette figure à travers toutes les épaisseurs et reproduit les motifs obtenus sur une feuille blanche, tu as obtenu :
Définition
Pour passer du motif de gauche au motif de droite, tu ne peux pas simplement le faire glisser et tourner. Tu dois à tout pris le "sortir" du plan et le retourner...
C'est la raison pour laquelle nous dirons qu'une symétrie axiale est un retournement.
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Une symétrie axiale est un retournement défini par un axe qui est perpendiculaire au segment [objet-image] en son milieu. |
Notation
Sa (X) = Y signifie que le point Y est l’image du point X par la symétrie axiale S dont l’axe est a
InvariantsL'observation des images construites, nous montre que la forme et la taille des figures n'ont pas changé durant leur déplacement.
Nous dirons que l'objet et son image sont isométriques.
En effet, les symétries axiales conservent :
- l'alignement des points
- les distances
- l'aire des figures
- l'amplitude des angles
- la perpendicularité
- le parralélisme
Construction de l'image d'un point (un triangle) par une symétrie axiale
Symétrie centrale
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Activité réalisée en classe
Après avoir plié 2x une feuille de papier (plis perpendiculaires) sur laquelle tu as dessiné une figure simple sur une des faces; découpé cette figure à travers toutes les épaisseurs et reproduit les motifs obtenus sur une feuille blanche, tu as obtenu :
Ilustration Géogébra
Définition
Pour passer du motif de droite au motif de gauche, tu peux simplement le faire tourner de 180° sans sortir du plan de la feuille...
C'est la raison pour laquelle nous dirons qu'une symétrie centrale est un déplacement.
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Une symétrie centrale est un déplacement défini par un point appelé centre de symétrie. Ce point est le mileu du segment [objet-image]. |
Notation
ST (X) = Y signifie que le point Y est l’image du point X par la symétrie centrale S dont le centre est T
InvariantsL'observation des images construites, nous montre que la forme et la taille des figures n'ont pas changé durant leur déplacement.
Nous dirons que l'objet et son image sont isométriques.
En effet, les symétries centrales conservent :
- l'alignement des points
- la direction
- les distances
- l'aire des figures
- l'amplitude des angles
- la perpendicularité
- le parralélisme
Le sens des figures a, par contre, été inversé.
Construction de l'image d'un point (un triangle) par une symétrie centrale
Translation
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Activité réalisée en classe
Après avoir plié 2x une feuille de papier (plis parallèles) sur laquelle tu as dessiné une figure simple sur une des faces; découpé cette figure à travers toutes les épaisseurs et reproduit les motifs obtenus sur une feuille blanche, tu as obtenu :
Ilustration Géogébra
Définition
Pour passer du motif de gauche au motif de droite, tu peux simplement le faire glisser sans sortir du plan de la feuille...
C'est la raison pour laquelle nous dirons qu'une translation est un déplacement.
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Une translation est un déplacement qui fait glisser les points du plan dans une même direction, dans un même sens et d'une même longueur (elle est définie par un vecteur). |
Notation
T
(X) = Y signifie que le point Y est l’image du point X par la translation de vecteur
L'observation des images construites, nous montre que la forme et la taille des figures n'ont pas changé durant leur déplacement.
Nous dirons que l'objet et son image sont isométriques.
En effet, les translations conservent :
- l'alignement des points
- la direction
- le sens
- les distances
- l'aire des figures
- l'amplitude des angles
- la perpendicularité
- le parralélisme
Construction de l'image d'un point (un triangle) par une symétrie centrale
Travail à domicile pour les élèves de Première année
Comme j'ai déjà eu l'occasion de vous l'expliquer en classe, nous allons essayer de rentabiliser au mieux ces trois semaines de confinement.
Je vous propose donc le travail suivant, dans votre cahier d'exercices ou sur le fascicule imprimé :
Mercredi 18 mars : relire la page 10 sur le repère cartésien et faire (refaire) les exercices de mon fascicule, pages 11 à 15 (sauf l'exercice 9) en suivant le lien
Un correctif sera disponible ici sous-peu → cliquer ici pour le correctif. Et une éventuelle session Live sur Smartschool sera organisée pour ceux qui rencontrent des difficultés
Jeudi 19 mars et vendredi 20 mars : essayez, avec les lattes distribuées par la stagiaire, de réaliser l'activite "La machine à additionner", page 16 du cours
En cas de difficultés, je vous invite à regarder la vidéo → Addition de nombres entiers
Vous pouvez ensuite vous entrainer sur un des deux sites suivants :
- Automatisations (en bas à droite sur ce site) --> onglet "relatifs, fractions" --> Additions de relatifs (2 termes)
Semaine du 23 au 27 mars : poursuivre l'apprentissage de l'addition des nombres entiers et réaliser les deux tests formatifs envoyés sur Smartschool.
Semaines du 20 au 24 avril et du 27 au 30 avril : suivre les activités du fascicule dont voici le lien (solides et figures - Partie 3 : pg 5 à 22)
Vous devez fonctionner comme quand je donne une préparation en classe... Vous essayez et notez ce qui ne va pas. La page 5 n'étant pas la plus simple ;-)!
Remarque : il y a souvent un lien vers une application géogébra qui doit vous aider si nécessaire (Aide : ........)
Semaine du 4 au 8 mai :
→ Cliquez ici pour le correctif de la plupart des activités du fascicule "Solides et figures - Partie 3" (parfois l'aide "géogébra" est plus efficace pour comprendre)
Semaine du 11 au 15 mai :
Après avoir corrigé le fascicule et m'avoir posé les éventuelles questions, vous pouvez essayer de réaliser le test formatif :
→ Test Figures planes, médiatrices et bissectrices
Je vous propose ensuite trois petits tests pour se rafraichir la mémoire (attention il y a un mot de passe):
Petit test sur l'addition des entiers → Cliquez ici et complétez le formulaire - correction automatique
Petit test sur le calcul algébrique → Cliquez ici et complétez le formulaire - correction automatique
Petit test sur les priorités opératoires dans N → Cliquez ici et complétez le formulaire - correction automatique
SemaineS du 18 au 29 mai :
Pour comprendre la soustraction des entiers, je vous propose de regarder d'abord deux vidéos; la deuxième permettant peut-être d'éclairer la première, plus mathématique :
- Vidéo 1 : clique ici
- Vidéo 2 : clique ici
Après cela, tu peux t'entrainer sur un des deux sites suivants :
- Automatisations (en bas à droite sur ce site) --> onglet "relatifs, fractions" --> Soustractions de relatifs (2 termes)
- Site de Khan Académy où des aides sont proposées...
Un petit test de 10 calculs est déjà prêt : Clique ici et complétez le formulaire - correction automatique
Semaines du 1er au 12 juin :
Après l'addition et la soustraction des entiers, il reste à envisager la multiplication; la plus simple des opérations avec des entiers.
Pour ce faire, je vous propose d'effectuer les "explorations" dans le fascicule, page 34 - Ex1 et 3 → clique ici
Ensuite, regarder la vidéo suivante : clique ici
Vous pouvez alors vous entrainer sur un des deux sites suivants :
- Automatisations (en bas à droite sur ce site) --> onglet "relatifs, fractions" --> Multiplications de relatifs (2 facteurs)
- Site de Khan Academy
- Un petit test de 10 calcul est prêt : Clique ici et complétez le formulaire - correction automatique
Calculs algébriques
Introduction
«Algèbre » est un mot d’origine arabe, directement tiré d’un ouvrage du savant perse Al-Khwarizmi (783 – 850 environ) : Al Jabr . L’algèbre est alors la science des équations.
Deux mille ans avant Jésus-Christ, les Babyloniens et les Egyptiens savent déjà résoudre des problèmes en utilisant les équations. Mais ils ne recourent pas encore à l’écriture littérale pour décrire leurs résolutions ; ils les transcrivent à l’aide de phrases. C’est Diophante d’Alexandrie qui, au IIIè siècle av. J.-C., commence à introduire des symboles en utilisant des « abréviations » pour l’inconnue et pour les opérations.
Aux VIIIè et IXè siècles, le monde arabo-musulman opère une synthèse de toutes les connaissances de l’époque et Al-Khwarizmi publie, en 825, son recueil Al Jabr, considéré comme la naissance officielle de l’algèbre.
En Occident, les premières traductions de ce fameux traité apparaissent au XVè siècle, en Italie. Jusqu’alors, le manuel de référence est le livre Liber Abaci de l’Italien Léonard de Pise, dit Fibonacci (1170-1250).
C’est le français François Viéte (1540-1603) qui donne à l’algèbre un nouvel essor en introduisant le symbolisme littéral. A la suite, Descartes (1596-1650) met définitivement en place les notations que nous employons aujourd’hui.
Activités
Lire la synthèse ci-dessous sans réaliser les activités du cours, c'est perdre tout le cheminement indispensable à une bonne compréhension du rôle de la lettre en algèbre. Voici les liens vers ses activités :
Somme de termes identiques
Nous savons que :
5 + 5 + 5 + 5 = 4 . 5
Une somme de termes identiques peut s’écrire sous la forme d’un produit. Il en va de même pour le calcul algébrique :
a + a + a = 3a
ax + ax + ax + ax + ax = 5ax
b² + b² + b² = 3b²
Dans l’expression 3a ; "3" est appelé coefficient et indique le nombre de termes identiques.
Réduction de termes semblables
Exemples :
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a + 3a + a + 2a = a + (a + a + a) + a + (a + a) = a + a + a + a + a + a + a = 7a |
4x² + x² = (x² + x² + x² + x²) + x² = x² + x² + x² + x² + x² = 5x² |
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2ab + 3ab = (ab + ab) + (ab + ab + ab) = ab + ab + ab + ab + ab = 5ab |
2a + 5b + 9a + 6ab = 11a + 5b + 6ab |
Dans une somme algébrique, on n’additionne que les termes semblables, c’est-à-dire les termes qui ont la même partie littérale.
Produit de facteurs identiques
Nous savons que :
5 . 5 . 5 . 5 = 54
Un produit de facteurs identiques peut s’écrire sous la forme d’une puissance. Il en va de même pour le calcul algébrique :
a . a . a = a3
ax . ax . ax . ax . ax = (ax)5
b² . b² . b² = (b²)3
Dans l’expression a3 ; "3" est appelé exposant et indique le nombre de facteurs identiques.
Réduction de produits
Dans le calcul algébrique, pour réduire un produit, on utilise les propriétés de commutativité et d’associativité :
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2a . 3b = 2.a . 3.b = (2.3) . (a.b) = 6ab |
5a . a = 5.a . a = 5 . (a.a) = 5a² |
2xy . x = 2.x.y . x = 2 . (x.x).y =2x²y |
Travail à domicile pour les élèves de Troisième année
Comme j'ai déjà eu l'occasion de vous l'expliquer en classe, nous allons essayer de rentabiliser au mieux ces trois semaines de confinement.
Je vous propose donc le travail suivant, dans votre cahier d'exercices ou sur le fascicule imprimé :
Mercredi 18 mars et Jeudi 19 mars
Relire les pages 16 et 17 sur les critères de similitudes des triangles (déjà notés dans vos cahiers en 3D et 3J). Ensuite, essayer de réaliser les exercices de démonstrations "rapides" (cfr. oral de juin) page 23 (cours de la stagiaire)
Voici l'exemple à suivre : cliquer ici
Un correctif sera disponible ici sous-peu → correctif de la page 23 et vidéo pour l'exercice 4 de la page 23. Et une éventuelle session Live sur Smartschool sera organisée pour ceux qui rencontrent des difficultés
Si tu rencontres des difficultés, tu peux aussi réaliser les exercices sur le site de Khan Academy → Cliquer ici
Vendredi 20 mars
Réaliser les exercices 11 (page 11) et 12 (page 12) de mon fascicule sur les figures semblables :
Un correctif sera disponible ici sous-peu → correctif des exercices 11 et 12. Et une éventuelle session Live sur Smartschool sera organisée pour ceux qui rencontrent des difficultés
Semaine du 23 au 27 mars
Réaliser l'activité 6 page 6 dans le cours de la stagiaire en essayant par exemple de mesurer la hauteur de sa maison, d'une église proche,... Pour se faire, tu devras effectuer des recherches sur : "comment calculer des distances inaccessibles?". ATTENTION!! SANS UTILISER LA TRIGONOMETRIE!!
Attarde-toi surtout sur les deux outils à ta disposition : un baton et un décamète (→ aide en cliquant ici) - un miroir et un décamètre (→ aide en cliquant ici). Voilà les deux autres outils utilisés historiquement : baton de Gerbert et carré géométrique.
Semaines du 20 au 24 avril et du 27 au 30 avril
Le test synthèse (formatif) sur les triangles semblables est disponible ici → Test sur les triangles semblabes. A vous de la réaliser comme si vous étiez en classe, après avoir revu cette matière. Un correctif sera disponible fin de semaine.
Je vous propose ensuite de lire l'article suivant et de regarder la vidéo jusqu'à 3'51"
Ensuite vous entrainer en effectuant les exercices pg 25 (fascicule d'exercices) : Série 2 - 1-3-5-8-10 et Série 3 - 2-4
Les solutions sont disponibles en cliquant sur le lien, page 25 (Solutionnaire)
Semaine du 4 au 8 mai
Je vous propose ensuite de lire l'article suivant et de regarder la vidéo jusqu'à 3'26" (la suite aussi mais il faut penser "méthode des rectangles" au lieu de sa méthode de "somme et produit", non vue en classe)
Ensuite vous entrainer en effectuant les exercices pg 26 (fascicule d'exercices) : Série 5 - 4-5-7 et Série 6 - 6-7 (ces deux derniers sont très long!! Il ne faut faire aucune faute de factorisation pour obtenir la réponse finale)
Les solutions sont disponibles en cliquant sur le lien, page 26 (Solutionnaire)
Semaine du 11 au 15 mai
Je vous propose ensuite de lire l'article suivant et de regarder la vidéo de 2'50" jusqu'à 6'00" (la suite aussi mais il faut penser "méthode des rectangles" au lieu de sa méthode de "somme et produit", non vue en classe)
Ensuite vous entrainer en effectuant les exercices pg 26 (fascicule d'exercices) : Série 5 - 8-9-10 et Série 6 - 1-2-3-4 (et tu auras compris que division, multiplication et simplification, ça se ressemble...)
Les solutions sont disponibles en cliquant sur le lien, page 26 (Solutionnaire)
Semaines du 18 au 29 mai
Pour aborder les inéquations du premier degré à une inconnue, je te propose d'avancer en trois étapes :
- comprendre les principes d'équivalences des inégalités en réalisant l'activité du Chapitre 8 pages 9 et 10. ATTENTION, j'ai retravaillé le dossier, donc c'est celui en ligne qu'il faut consulter...
puis en regardant la vidéo de correction →vidéo
- lire la synthèse théorique des pages 16 et 17 du chapitre 8
et résoudre les exercices simples (tu pourras passer aux compliqués une fois la matière apprivoisée) pg 23 dans le fascicule d'exercices : Série 1 : ex1 à 5 et Série 2 : ex1 à 5
Les solutions sont disponibles en cliquant sur le lien, page 23 (Solutionnaire)
En cas de soucis, des exemples sont proposés dans les vidéos : → clique ici
- reste à comprendre comment noter l'ensemble des solutions d'une inéquations sur une droite graduée et sous forme d'intervalle
→ lis le PDF après avoir cliqué ici. Il y a un lien "géogébra" assez utile si nécessaire...
→ une vidéo, avec des conventions assez semblables peut aussi t'aider : clique ici
Semaines du 2 au 5 juin
Pour vérifier que tu as compris le chapitre sur les inéquations, je te propose de réaliser le test synthèse → clique ici
Un correctif sera diffusé d'ici peu... Le voilà :-) → clique ici