Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant ! Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant !
Exercices
Explication sur un exemple concret :
Et en anglais... "The BoxFactoring"
Exercices sur le site de "KhanAcademy" - Série 1
Exercices sur le site de "KhanAcademy"- Série 2
Loi du reste - Recherche du reste de la division de P(x) par (x - a) avec une CASIO fx92-Collège
Quand on divise un polynôme P(x) par un binôme de la forme (x – a), on sait que le degré du reste est égal à « 0 » (degré du reste < degré du diviseur). En d’autres mots, le reste sera toujours un nombre.
Loi du reste
| Le reste de la division d’un polynôme P(x) par un binôme de la forme (x – a) est la valeur numérique de ce polynôme pour x = a |
Démonstration :
P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) avec R(x) qui est un nombre. Soit r = ce nombre
Comme D(x) est du type "(x - a)", on a :
P(x) = (x – a) . Q(a) + r
Calculons P(a) :
P(a) = (a – a) . Q(a) + r
<=> P(a) = 0 . Q(a) + r
<=> P(a) = r
Divisibilité d’un polynôme par un binôme de la forme (x – a)
|
Un polynôme P(x) est divisible par un binôme de la forme (x – a) ssi le reste de la division de P(x) par (x – a) est égal à « 0 » ssi le valeur numérique de P(x) pour x = a est égale à « 0 » ou P(a) = 0 |
Division par (x – a) et factorisation
En pratique, pour déterminer un binôme (x – a) par lequel un polynôme P(x) est divisible, il suffit de calculer les valeurs numériques de ce polynôme pour les différents diviseurs de son terme indépendant. Si une de ces valeurs numériques « a » vaut « 0 », alors P(x) sera divisible par (x – a) et tu pourras factoriser le polynôme par la méthode des rectangles.
Ces valeurs numériques peuvent être calculer rapidement à l'aide de la calculette :
Valeurs numériques
Exemple :
Soit le polynôme P(x) = x³ + x² – 4x – 4 à factoriser.
| Application | Marche à suivre | |
| 1] Div 4 = {±1 ; ±2 ; ±4} | Recherche des diviseurs du terme indépendant | |
|
2] P(1) = 1³ + 1² - 4.1 – 4 = -6 ≠ 0 donc P(x) n’est pas divisible par (x – 1) P(-1) = (-1)³ - 4.(-1)² + (-1) – 4 = 0 donc P(x) est divisible par (x + 1) |
Calculs des valeurs numériques de P(x) jusqu’à ce qu’une d’elles donne « 0 » |
|
| 3] Méthode des rectangles : voir la vidéo ci-dessous | Méthode des rectangles |
Exemple ci-dessus en vidéo