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Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant ! Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant !

Exercices

Explication sur un exemple concret :

Et en anglais... "The BoxFactoring"

iconexerciceExercices sur le site de "KhanAcademy" - Série 1

iconexerciceExercices sur le site de "KhanAcademy"- Série 2

Loi du reste - Recherche du reste de la division de P(x) par (x - a) avec une CASIO fx92-Collège

Quand on divise un polynôme P(x) par un binôme de la forme (x – a), on sait que le degré du reste est égal à « 0 » (degré du reste < degré du diviseur). En d’autres mots, le reste sera toujours un nombre.

Loi du reste

Le reste de la division d’un polynôme P(x) par un binôme de la forme (x – a) est la valeur numérique de ce polynôme pour x = a

Démonstration :

P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)                    avec R(x) qui est un nombre. Soit r = ce nombre

Comme D(x) est du type "(x - a)", on a :

P(x) = (x – a) . Q(a) + r

Calculons P(a) :

P(a) = (a – a) . Q(a) + r

<=> P(a) = 0 . Q(a) + r

<=> P(a) = r

Divisibilité d’un polynôme par un binôme de la forme (x – a)

Un polynôme P(x) est divisible par un binôme de la forme (x – a)

ssi

le reste de la division de P(x) par (x – a) est égal à « 0 »

ssi

le valeur numérique de P(x) pour x = a est égale à « 0 » ou P(a) = 0

Division par (x – a) et factorisation

En pratique, pour déterminer un binôme (x – a) par lequel un polynôme P(x) est divisible, il suffit de calculer les valeurs numériques de ce polynôme pour les différents diviseurs de son terme indépendant. Si une de ces valeurs numériques « a » vaut « 0 », alors P(x) sera divisible par (x – a) et tu pourras factoriser le polynôme par la méthode des rectangles.

Ces valeurs numériques peuvent être calculer rapidement à l'aide de la calculette :

logovideoValeurs numériques 

Exemple :

Soit le polynôme P(x) = x³ + x²  – 4x – 4 à factoriser. 

Application   Marche à suivre
1]       Div 4 = {±1 ; ±2 ; ±4}   Recherche des diviseurs du terme indépendant

2]       P(1) = 1³ + 1² - 4.1 – 4 = -6 ≠ 0

donc P(x) n’est pas divisible par (x – 1)

            P(-1) = (-1)³ - 4.(-1)² + (-1) – 4 = 0

donc P(x) est divisible par (x + 1)

 

    Calculs des valeurs numériques de P(x)

jusqu’à ce qu’une d’elles donne « 0 »

3]       Méthode des rectangles : voir la vidéo ci-dessous   Méthode des rectangles

logovideoExemple ci-dessus en vidéo

 

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