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Le calcul algebrique : Introduction
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«Algèbre» est un mot d’origine arabe, directement tiré d’un ouvrage du savant perse Al-Khwarizmi (783 – 850 environ): Al Jabr. L’algèbre est alors la science des équations. Deux mille ans avant Jésus-Christ, les Babyloniens et les Egyptiens savent déjà résoudre des problèmes en utilisant les équations. Mais ils ne recourent pas encore à l’écriture littérale pour décrire leurs résolutions; ils les transcrivent à l’aide de phrases. C’est Diophante d’Alexandrie qui, au IIIè siècle av. J.-C., commence à introduire des symboles en utilisant des «abréviations» pour l’inconnue et pour les opérations. Aux VIIIè et IXè siècles, le monde arabo-musulman opère une synthèse de toutes les connaissances de l’époque et Al-Khwarizmi publie, en 825, son recueil Al Jabr, considéré comme la naissance officielle de l’algèbre. En Occident, les premières traductions de ce fameux traité apparaissent au XVè siècle, en Italie. Jusqu’alors, le manuel de référence est le livre Liber Abaci de l’Italien Léonard de Pise, dit Fibonacci (1170-1250). C’est le français François Viéte (1540-1603) qui donne à l’algèbre un nouvel essor en introduisant le symbolisme littéral. A la suite, Descartes (1596-1650) met définitivement en place les notations que nous employons aujourd’hui. |
1. Somme de termes identiques
Nous savons que :
5 + 5 + 5 + 5 = 4 . 5
Une somme de termes identiques peut s’écrire sous la forme d’un produit. Il en va de même pour le calcul algébrique :
a + a + a = 3a
ax + ax + ax + ax + ax = 5ax
b² + b² + b² = 3b²
Dans l’expression 3a ; "3" est appelé coefficient et indique le nombre de termes identiques.
2. Réduction de termes semblables
Exemples :
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a + 3a + a + 2a = a + (a + a + a) + a + (a + a) = a + a + a + a + a + a + a = 7a |
4x² + x² = (x² + x² + x² + x²) + x² = x² + x² + x² + x² + x² = 5x² |
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2ab + 3ab = (ab + ab) + (ab + ab + ab) = ab + ab + ab + ab + ab = 5ab |
2a + 5b + 9a + 6ab = 11a + 5b + 6ab |
Dans une somme algébrique, on n’additionne que les termes semblables, c’est-à-dire les termes qui ont la même partie littérale.
3. Produit de facteurs identiques
Nous savons que :
5 . 5 . 5 . 5 = 54
Un produit de facteurs identiques peut s’écrire sous la forme d’une puissance. Il en va de même pour le calcul algébrique :
a . a . a = a3
ax . ax . ax . ax . ax = (ax)5
b² . b² . b² = (b²)3
Dans l’expression a3 ; "3" est appelé exposant et indique le nombre de facteurs identiques.
4. Réduction de produits
Dans le calcul algébrique, pour réduire un produit, on utilise les propriétés de commutativité et d’associativité :
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2a . 3b = 2.a . 3.b = (2.3) . (a.b) = 6ab |
5a . a = 5.a . a = 5 . (a.a) = 5a² |
2xy . x = 2.x.y . x = 2 . (x.x).y =2x²y |
5. La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction
Dans nos recherches de formules du chapitre 1 (cours de 1ère), nous avons transformé certaines expressions pour prouver qu’elles étaient égales :
Exemple des nombres triangulaires (en négligeant la division par 2) :
n.(n + 1) = n² + n
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n |
+ 1 |
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n |
n² |
+ n |
En général, nous noterons :
| L.L. | La multiplication est distributive par rapport à l’addition. |
| L.M. | ∀ a, b et c ∈ Q : a.(b + c) = a.b + a.c |
Exemple de l’exercice 2b) (cours de 1ère) :
3 + 2.(n - 1) = 3 + 2n - 2
= 2n + 1
En général, nous noterons.
| L.L. | La multiplication est distributive par rapport à la soustraction. |
| L.M. | ∀ a, b et c ∈ Q : a.(b - c) = a.b - a.c |
Carré de binômes
Produit de binômes conjugués