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Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant ! Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant !

Le calcul algebrique : Introduction

«Algèbre» est un mot d’origine arabe, directement tiré d’un ouvrage du savant perse Al-Khwarizmi (783 – 850 environ): Al Jabr. L’algèbre est alors la science des équations.

Deux mille ans avant Jésus-Christ, les Babyloniens et les Egyptiens savent déjà résoudre des problèmes en utilisant les équations. Mais ils ne recourent pas encore à l’écriture littérale pour décrire leurs résolutions; ils les transcrivent à l’aide de phrases. C’est Diophante d’Alexandrie qui, au IIIè siècle av. J.-C., commence à introduire des symboles en utilisant des «abréviations» pour l’inconnue et pour les opérations.

Aux VIIIè et IXè siècles, le monde arabo-musulman opère une synthèse de toutes les connaissances de l’époque et Al-Khwarizmi publie, en 825, son recueil Al Jabr, considéré comme la naissance officielle de l’algèbre.

En Occident, les premières traductions de ce fameux traité apparaissent au XVè siècle, en Italie. Jusqu’alors, le manuel de référence est le livre Liber Abaci de l’Italien Léonard de Pise, dit Fibonacci (1170-1250).

C’est le français François Viéte (1540-1603) qui donne à l’algèbre un nouvel essor en introduisant le symbolisme littéral. A la suite, Descartes (1596-1650) met définitivement en place les notations que nous employons aujourd’hui.

1. Somme de termes identiques

Nous savons que :

            5 + 5 + 5 + 5 = 4 . 5

Une somme de termes identiques peut s’écrire sous la forme d’un produit. Il en va de même pour le calcul algébrique :

            a + a + a = 3a

            ax + ax + ax + ax + ax = 5ax

            b² + b² + b² = 3b²

Dans l’expression 3a ; "3" est appelé coefficient et indique le nombre de termes identiques.

2. Réduction de termes semblables

Exemples :

     a + 3a + a + 2a    = a + (a + a + a) + a + (a + a)

                               = a + a + a + a + a + a + a

                               = 7a

      4x² + x²        = (x² + x² + x² + x²) + x²

                         = x² + x² + x² + x² + x²

                         = 5x²

     2ab + 3ab            = (ab + ab) + (ab + ab + ab)

                               = ab + ab + ab + ab + ab

                               = 5ab

      2a + 5b + 9a + 6ab = 11a + 5b + 6ab

Dans une somme algébrique, on n’additionne que les termes semblables, c’est-à-dire les termes qui ont la même partie littérale.

3. Produit de facteurs identiques

Nous savons que :

            5 . 5 . 5 . 5 = 54

Un produit de facteurs identiques peut s’écrire sous la forme d’une puissance. Il en va de même pour le calcul algébrique :

            a . a . a = a3

            ax . ax . ax . ax . ax = (ax)5

            b² . b² . b² = (b²)3

Dans l’expression a3 ; "3" est appelé exposant et indique le nombre de facteurs identiques.

4. Réduction de produits

Dans le calcul algébrique, pour réduire un produit, on utilise les propriétés de commutativité et d’associativité :

     2a . 3b    = 2.a . 3.b

                   = (2.3) . (a.b)

                   = 6ab

     5a . a      = 5.a . a

                   = 5 . (a.a)

                   = 5a²

     2xy . x    = 2.x.y . x

                   = 2 . (x.x).y

                   =2x²y

5. La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction

Dans nos recherches de formules du chapitre 1 (cours de 1ère), nous avons transformé certaines expressions pour prouver qu’elles étaient égales :

Exemple des nombres triangulaires (en négligeant la division par 2) :

            n.(n + 1) = n² + n

n

+ 1 

 n 

 n²

+ n 

 

En général, nous noterons :

L.L.  La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
L.M. ∀ a, b et c  ∈ Q : a.(b + c) = a.b + a.c 

Exemple de l’exercice 2b) (cours de 1ère) :

3 + 2.(n - 1)    = 3 + 2n - 2

                      = 2n + 1

En général, nous noterons.

L.L.  La multiplication est distributive par rapport à la soustraction.
L.M. ∀ a, b et c  ∈ Q : a.(b - c) = a.b - a.c 

lirelarticleCarré de binômes 

lirelarticleProduit de binômes conjugués 

 

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MICHIELS Yves

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