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Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant ! Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant !

Réduction d’expressions comprenant des puissances

Réduction d’une puissance d’un produit

Soit le produit des nombres x et y, élevé à la troisième puissance.

En L.M. :                                                                                

 (x . y)3
La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  (x . y) . (x . y) . (x . y)
Vu l’associativité de la multiplication, on a : =  x . y . x . y . x . y
Vu la commutativité de la multiplication, on a : =  x . x . x . y . y . y
Vu l’associativité de la multiplication, on a : =  (x . x . x) . (y . y . y)
La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  x3 . y3
D’où :                                             (x . y)3 =  x3 . y3 

Nous retiendrons la formule :

 ∀ x, y ∈ Q ; ∀ n ∈ N : (x . y)n = xn . yn

Réduction d’une puissance de puissance

Soit la 2e puissance de x élevée à la 3e puissance.

En L.M. :                                                                                      (x2)3

La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  (x2) . (x2) . (x2)
La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  (x . x) . (x . x) . (x . x)
Vu l’associativité de la multiplication, on a : =  x . x . x . x . x . x
La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  x6

D’où :                                             (x2)3  =  x6

Nous retiendrons la formule :

∀ x ∈ Q ;  ∀ m, n ∈ N : (xm)n  =  xm . n 

Réduction d’un produit de puissances de même base

Soit le produit de la 2e puissance de x, par la 3e puissance de x

En L.M. :                                                                                      x2 . x3

La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  (x . x) . (x . x . x)
Vu l’associativité de la multiplication, on a : =  x . x . x . x . x
La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  x5

D’où :                                              x2 . x3  =  x5

Nous retiendrons la formule :

∀ x ∈ Q ; ∀ m, n ∈ N : xm . xn  =  xm+n 

Réduction d’une puissance d’un quotient

Soit le quotient de x par y noté (x/y)  élevée à la 3e puissance.

En L.M. :                                                                                      (x/y)3

La définition de la puissance nous permet d’écrire : = (x/y).(x/y).(x/y)
La règle du produit de fractions nous permet d’écrire : = (x.x.x)/(y.y.y)
La définition de la puissance nous permet d’écrire : = x3/y3

D’où :                                              (x/y)3 = x3/y3 

Nous retiendrons la formule :

∀ x ∈  Z ; ∀ y ∈ Z0 et ∀ n ∈ N : (x/y)n = xn/yn   

Réduction d’un quotient de puissances de même base

1er cas :

Soit le quotient de la 5e puissance de x, par la 3e puissance de x

En L.M. :                                                                                       x5/x3                                       

La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  (x.x.x.x.x)/(x.x.x)
En appliquant la simplification de fractions, on a : = (x.x)/1
La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  x2

D’où :                                                 x5/x3 = x2 

2ème cas :

Soit le quotient de la 3e puissance de x, par la 5e puissance de x

En L.M. :                                                                                       x3/x5     

La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  (x.x.x)/(x.x.x.x.x)
En appliquant la simplification de fractions, on a : = 1/(x.x)
La définition de la puissance nous permet d’écrire : =  1/x2

D’où :                                                 x3/x5 = 1/x2

Nous retiendrons la formule :

 ∀ x ∈ Z0 ; ∀ m, n ∈ N :
  • si m > n : xm/xn = xm-n
  • si m < n : xm/xn = 1/xn-m

Remarque :

x0 = 1 sauf si x = o (expression indéterminée)  

Collège Saint-Barthélemy - LIEGE


MICHIELS Yves

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