Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant ! Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant !
Réduction d’expressions comprenant des puissances
Réduction d’une puissance d’un produit
Soit le produit des nombres x et y, élevé à la troisième puissance.
En L.M. :
| (x . y)3 | |
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = (x . y) . (x . y) . (x . y) |
| Vu l’associativité de la multiplication, on a : | = x . y . x . y . x . y |
| Vu la commutativité de la multiplication, on a : | = x . x . x . y . y . y |
| Vu l’associativité de la multiplication, on a : | = (x . x . x) . (y . y . y) |
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = x3 . y3 |
| D’où : (x . y)3 = x3 . y3 | |
Nous retiendrons la formule :
| ∀ x, y ∈ Q ; ∀ n ∈ N : (x . y)n = xn . yn |
Réduction d’une puissance de puissance
Soit la 2e puissance de x élevée à la 3e puissance.
En L.M. : (x2)3
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = (x2) . (x2) . (x2) |
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = (x . x) . (x . x) . (x . x) |
| Vu l’associativité de la multiplication, on a : | = x . x . x . x . x . x |
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = x6 |
D’où : (x2)3 = x6
Nous retiendrons la formule :
| ∀ x ∈ Q ; ∀ m, n ∈ N : (xm)n = xm . n |
Réduction d’un produit de puissances de même base
Soit le produit de la 2e puissance de x, par la 3e puissance de x
En L.M. : x2 . x3
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = (x . x) . (x . x . x) |
| Vu l’associativité de la multiplication, on a : | = x . x . x . x . x |
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = x5 |
D’où : x2 . x3 = x5
Nous retiendrons la formule :
| ∀ x ∈ Q ; ∀ m, n ∈ N : xm . xn = xm+n |
Réduction d’une puissance d’un quotient
Soit le quotient de x par y noté (x/y) élevée à la 3e puissance.
En L.M. : (x/y)3
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = (x/y).(x/y).(x/y) |
| La règle du produit de fractions nous permet d’écrire : | = (x.x.x)/(y.y.y) |
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = x3/y3 |
D’où : (x/y)3 = x3/y3
Nous retiendrons la formule :
| ∀ x ∈ Z ; ∀ y ∈ Z0 et ∀ n ∈ N : (x/y)n = xn/yn |
Réduction d’un quotient de puissances de même base
1er cas :
Soit le quotient de la 5e puissance de x, par la 3e puissance de x
En L.M. : x5/x3
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = (x.x.x.x.x)/(x.x.x) |
| En appliquant la simplification de fractions, on a : | = (x.x)/1 |
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = x2 |
D’où : x5/x3 = x2
2ème cas :
Soit le quotient de la 3e puissance de x, par la 5e puissance de x
En L.M. : x3/x5
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = (x.x.x)/(x.x.x.x.x) |
| En appliquant la simplification de fractions, on a : | = 1/(x.x) |
| La définition de la puissance nous permet d’écrire : | = 1/x2 |
D’où : x3/x5 = 1/x2
Nous retiendrons la formule :
∀ x ∈ Z0 ; ∀ m, n ∈ N :
|
Remarque :
| x0 = 1 sauf si x = o (expression indéterminée) |