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Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant ! Comme quelque chose de barbant, qui peut devenir amusant !

1. Egalités - Principes d’équivalence - Equations

1.1.  Egalité

1]       Le signe « = » placé entre deux expressions différentes signifie que ces deux expressions représentent le même nombre.

2]       Nous appellerons « égalité » l’écriture formée par ces deux expressions et le signe = qui les unit.

ex : 16 + 4 = 17 + 3 

3]       Dans cette égalité,        16 + 4 représente le premier membre de l’égalité 

            17 + 3 représente le deuxième membre de l’égalité. 

Une bonne représentation de l’égalité est la balance de Roberval équilibrée.

Balance de Roberval

iconexerciceApplication simples sur le site de Khan Academy 

iconexerciceFiche d'exercice MIY 

1.2.  Les principes d’équivalence

1]       Pour l’addition

Si on ajoute un même nombre aux deux membres d’une égalité, on conserve une égalité.

∀a, b, c ∈ R : a  =  b  => a + c  =  b + c

2]       Pour la soustraction

Si on soustrait un même nombre aux deux membres d’une égalité, on conserve une égalité.

∀a, b, c  R : a  =  b   =>   a - c  =  b - c

3]       Pour la multiplication

Si on multiplie les deux membres d’une égalité par un même facteur, on conserve une égalité.

∀a, b, c ∈ R : a  =  b   =>   a . c  =  b . c

4]       Pour la division

Si on divise les deux membres d’une égalité par un même nombre différent de zéro , on conserve une égalité.

∀a, b  R ;  c  R0 : a  =  b   =>   a : c  =  b : c

1.3.  Equations

  • Une équation est une égalité qui renferme au moins une inconnue.
  • Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifie l’égalité. Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation

2. Equations du premier degre à une inconnue

2.1. Notion

Les équations que tu as rencontré en deuxième étaient toutes du premier degré, car dans chacune d’elles, le degré le plus élevé de l’inconnue (« x » le plus souvent) était 1.

Exemples :

x + 14 = -30

4x + 5 = 2x+ 7

-27 = 3x

3x = 51

7x = 0

0x = -6



0x = 0

Par contre, l’équation :

x² - 4 = 0

n’est pas du premier degré puisque « x » apparaît à la puissance 2. De même, l’équation :

(x + 2)(2x – 4) = 0

n’est pas du premier degré puisque « x » apparaît à la puissance 2 après distributivité.

2.2.  Résolution 

Pour résoudre de telles équations, ce que tu as déjà fait en deuxième :

  • Tu transformes l’équation de départ en des équations équivalentes de plus en plus simples, en utilisant les principes d’équivalences.
  • L’équation est résolue quand tu as obtenu une équation dont le premier membre est l’inconnue et le second membre un nombre (ou l’inverse).

logovideoVidéo de résolutions d'équations "simples" 

logovideoVidéo de résolution d'équations "avec dénominateurs" 

 

2.3.  Trois fautes « habituelles » à éviter…

  • D’abord distribuer avant de réduire au même dénominateur.
  • Bien TOUT mettre au même dénominateur avant de le « neutraliser »
  • Faire particulièrement attention au signe « moins » qui se trouve devant une fraction dont le numérateur comporte plusieurs termes.

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lirelarticleEquations du type : "ax + b = cx + d" 

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