Des mathématiciens allemands et italiens ont imaginé, au début du XXè siècle, le regroupement de différents nombres ayant les mêmes caractéristiques en ensembles ou familles de nombres.

Les ensembles de nombres sont les suivants :

Les entiers naturels :

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

C'est l'ensemble des nombres qui servent à compter, à dénombrer. L'ensemble N fut crée par Peano (1858-1932), et c'est de « naturale » en italien que provient la lettre N.

Les entiers relatifs

Z = {… ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

C'est l'ensemble des entiers positifs ou négatifs, ceux qui n’ont pas de partie décimale. Le Z, vient de zahl (nombre) et zalhen (compter) en allemand, langue de son « inventeur » : Dedekind(1831-1916).

Les nombres rationnels

Q = {… ; ½ ; -3/5 ; -4 ; … ; 0 ; 1,77…7… ; -12,45858…58… ; -2 ; …}

C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction à termes entiers. C'est encore Peano qui inventa cet ensemble, Q venant de « quotiente » en italien.

Cet ensemble regroupe :

• Les nombres entiers, en effet, tout nombre entier peut s’écrire comme une fraction dont le numérateur est cet entier et le dénominateur 1 (ex. : -7 = -7/1)
• Les nombres décimaux limités qui peuvent être représentés par une fraction dont le numérateur est ce nombre auquel on a ôté la virgule et le dénominateur la puissance de 10 correspondant au nombre de décimales (ex. : 12,237 = 12237/1000)
• Les nombres décimaux illimités périodiques qui, par un petit raisonnement, peuvent être transformés en une fraction à termes entiers :

Ex. : Transformer le nombre périodique n = 2,142727…27…en fraction.

On multiplie « n » par une puissance de 10 (10, 100, 1000, etc.) de façon à déplacer la virgule à droite de la première période :

On multiplie ensuite « n » par une puissance de 10 de façon à déplacer la virgule à gauche de la première période (si il n’y a pas d’antipériode - ici 14-, on multiplie n par 1):

On soustrait membre à membre les deux équations des étapes 1 et 2 : les membres de gauche de l'égalité sont soustraits entre eux, les membres de droite entre eux aussi. Ainsi, les parties décimales illimitées sont identiques et la différence de droite est un nombre entier :

10000n - 100n = 21427,2727…27… - 214,2727…27…

Soit 9900n = 21213

Pour trouver la valeur de « n » sous forme fractionnaire, on divise le nombre entier obtenu à droite de l’égalité par le coefficient de « n » (on isole n) :

n = 21213/9900

Nous avons ainsi la valeur de n, mais en notation fractionnaire, où le numérateur est 21213 et le dénominateur est 9900. Si on effectue la division de 21213 par 9900, on retrouvera notre nombre décimal périodique de départ.

La fraction recherchée est donc :

21213/9900

On peut éventuellement simplifier cette fraction:

2357/1100

Vidéo de Khan Academy sur le sujet

Les nombres irrationnels

Par opposition aux nombres rationnels, il s’agit de l’ensemble des nombres décimaux qui ne peuvent être transformés en une fraction à termes entiers. Les deux plus connus sont : « ∏ » et « e »

• Les premières décimales de π sont :

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582…

Mais dans la pratique, on utilise le plus souvent 3,14. Les décimales de « ∏ » ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans.

• Le nombre « e » ne fait son apparition qu’au XVIIe siècle avec le développement des logarithmes. Ses premières décimales sont :

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957…

• Un autre nombre irrationnel connu est le nombre d’or : Φ = (1 + V5)/2 soit approximativement 1,6180339887

C’est dans cet ensemble qu’on retrouvera la plupart des radicaux envisagés dans ce chapitre.

Accès au note du cours

I = {… ; - ; π ;  ; …}

Les nombres réels

R = Q ∪ I

C'est l'union des ensembles Q et I, soit tous les nombres "réels". R pour « real », cet ensemble a aussi été crée par Dedekind.

Les nombres complexes

Ensemble des nombres de la forme "a + ib" (avec i² = -1). L'emploi de la lettre C provient sans doute d'une convention logique dans la lignée des autres.

Notion de base 

Valeur approchée 

Simplifier des radicaux numériques 

Additionner et soustraire des radicaux

Développer une expression 

Rendre un dénominateur rationnel